Условие
Длины сторон треугольника различны и образуют арифметическую
прогрессию. Докажите, что прямая, проходящая через
точку пересечения медиан и центр вписанной окружности,
параллельна одной из сторон треугольника.
Решение
Если числа образуют арифметическую прогрессию, то
одно из них есть среднее арифметическое двух других.
Пусть
O — центр вписанной окружности (точка пересечения
биссектрис) треугольника
ABC , в котором
AC = b ,
BC=a ,
AB = 
. Тогда, если
CQ —
биссектриса треугольника
ABC , то
=
= 
, значит,
BQ=
и
AQ = 
, а т.к.
BO — биссектриса треугольника
BCQ , то
= 
= 2
.
С другой стороны, если
K — середина
стороны
AB , а
M — точка пересечения медиан треугольника
ABC , то
= 2
. Поэтому
=
, значит,
OM || AB .
Что и требовалось доказать.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
2898 |
