Задача 111705

Темы:    [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию.
Докажите, что радиус вписанной окружности равен трети одной из высот треугольника.

Решение

Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC, в котором  AC = b, BC = a, AB = ½ (a + b).  Тогда, если CQ – биссектриса треугольника ABC, то  BQ : AQ = BC : AC = a : b,  значит,  BQ = ^a/₂,  AQ = ^b/₂,  а так как BI – биссектриса треугольника BCQ, то  CI : IQ = 2 : 1.  Значит,
S_AIB = S_AIQ + S_QIB = ⅓ S_ACQ + ⅓ S_CQB = ⅓ S_ABC.  Следовательно, высоты треугольников AIB и ACB, опущенные на общее основание AB, относятся, как  1 : 3.  Первая из них и есть радиус вписанной окружности.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2899