Задача 111718

Темы:    [ Вневписанные окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

Условие

Дан треугольник ABC . Вневписанная окружность касается его стороны BC в точке A₁ и продолжений двух других сторон. Другая вневписанная окружность касается стороны AC в точке B₁ . Отрезки AA₁ и BB₁ пересекаются в точке N . На луче AA₁ отметили точку P , такую что AP=NA₁ . Докажите, что точка P лежит на вписанной в треугольник окружности.

Решение

Так как точки касания сторон треугольника с вневписанными окружностями симметричны их точкам касания с вписанной окружностью относительно середин сторон, CA₁ = p - b , CB₁ = p - a , AB₁ = BA₁ = p - c . Применив теорему Менелая к треугольнику ACA₁ и прямой BB₁ , получаем, что A₁N=AA₁ = (p - a)=p . Гомотетия с этим коэффициентом и центром A переведет точку A₁ в точку P . Но отношение радиусов вписанной и вневписанной окружностей треугольника тоже равно (p - a)=p , значит образ A₁ при этой гомотетии лежит на вписанной окружности.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2008
тур
задача
Номер	13