ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111775
Темы:    [ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Гомотетичные окружности ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
[ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точка D на стороне BC треугольника ABC такова, что радиусы вписанных окружностей треугольников ABD и ACD равны. Докажите, что радиусы окружностей, вневписанных в треугольники ABD и ACD , касающихся соответственно отрезков BD и CD , также равны.

Решение

Первое решение.


Рассмотрим общую внешнюю касательную l (отличную от BC ) для окружностей σ 1 и σ 2 , вписанных в треугольники ABD и ACD (рисунок). Из равенства окружностей l|| BC . Рассмотрим гомотетию с центром A , переводящую прямую l в прямую BC . При выполнении этой гомотетии окружность σ 1 перейдет в окружность, отличную от σ1 , вписанную в угол BAD и касающуюся прямой BC , т.е. в соответствующую вневписанную окружность треугольника ABD . Аналогично, σ2 перейдет во вневписанную окружность треугольника ACD . Отсюда вытекает утверждение задачи, так как при гомотетии равные окружности переходят в равные.

Второе решение. Пусть высота треугольника ABC , опущенная из вершины A , равна h , площади треугольников ABD и ACD равны S1 , S2 , радиусы их вписанных окружностей равны r , радиусы вневписанных окружностей (о которых идет речь в задаче) – r1 и r2 , соответственно. Положив AB=c , AD=d , BD=x , находим 2S1=r1(c+d-x) = = - 2 = - . Аналогично можно получить, что = - , откуда r1=r2 .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2007
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 10
задача
Номер 07.4.10.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .