ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 111775
УсловиеТочка D на стороне BC треугольника ABC такова, что радиусы вписанных окружностей треугольников ABD и ACD равны. Докажите, что радиусы окружностей, вневписанных в треугольники ABD и ACD , касающихся соответственно отрезков BD и CD , также равны.РешениеПервое решение.Рассмотрим общую внешнюю касательную l (отличную от BC ) для окружностей σ 1 и σ 2 , вписанных в треугольники ABD и ACD (рисунок). Из равенства окружностей l|| BC . Рассмотрим гомотетию с центром A , переводящую прямую l в прямую BC . При выполнении этой гомотетии окружность σ 1 перейдет в окружность, отличную от σ1 , вписанную в угол BAD и касающуюся прямой BC , т.е. в соответствующую вневписанную окружность треугольника ABD . Аналогично, σ2 перейдет во вневписанную окружность треугольника ACD . Отсюда вытекает утверждение задачи, так как при гомотетии равные окружности переходят в равные. Второе решение. Пусть высота треугольника ABC , опущенная из вершины A , равна h , площади треугольников ABD и ACD равны S1 , S2 , радиусы их вписанных окружностей равны r , радиусы вневписанных окружностей (о которых идет речь в задаче) – r1 и r2 , соответственно. Положив AB=c , AD=d , BD=x , находим 2S1=r1(c+d-x) = = - 2 = - . Аналогично можно получить, что = - , откуда r1=r2 . Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|