Задача 111783

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ ГМТ и вписанный угол ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Емельянов Л.А.

На стороне BC треугольника ABC выбрана произвольная точка D . В треугольники ABD и ACD вписаны окружности с центрами K и L соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников BKD и CLD вторично пересекаются на фиксированной окружности.

Решение

Пусть описанные окружности треугольников BKD и CLD вторично пересекаются в точке M (см. рис.) . Пользуясь тем, что четырехугольники BKDM и CLDM вписанные, получаем: BMC = BMD + CMD = (180^o - BKD) + (180^o - CLD) = KBD + KDB + LDC + LCD = ( ABD + ADB + ADC + ACD) = ( ABD + 180^o + ACD) = 90^o+ ( ABD + ACD) . Величина угла BMC фиксирована, поэтому M лежит на фиксированной окружности с хордой BC . Замечание. В решении используется, что точки A и M лежат по разные стороны от BC . Это нетрудно вывести из того, что углы BKD и CLD тупые.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2007
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	9
задача
Номер	07.4.9.6