|
|
 |
Условие
Дан выпуклый шестиугольник P1P2P3P4P5P6, все стороны которого равны. Каждую его вершину отразили симметрично относительно прямой, проходящей через две соседние вершины. Полученные точки обозначили через Q1, Q2, Q3, Q4, Q5 и Q6 соответственно. Докажите, что треугольники Q1Q3Q5 и Q2Q4Q6 равны.
Решение
Достаточно доказать, что Q2Q6 = Q5Q3, Q2Q4 = Q5Q1 и Q4Q6 = Q1Q3. Докажем одно из этих равенств, остальные доказываются аналогично.
Первый способ. Обозначим углы шестиугольника при вершинах P1, ..., P6 через α1, ..., α6; тогда α1 + ... + α6 = 720°. Рассмотрим четырёхугольник P2P3P4Q3. Все его стороны равны, поэтому он является ромбом. Аналогично ромбом является четырёхугольник P4P5P6Q5. Поэтому
∠P3P4Q3 = 180° – ∠P2P3P4 = 180° – α3 и ∠P5P4Q5 = 180° – α5. Значит, ∠Q3P4Q5 = |∠P3P4P5 – ∠P3P4Q3 – ∠P5P4Q5| = |α3 + α4 + α5 – 360°|. Аналогично ∠Q2P1Q6 = |α6 + α1 + α2 – 360°| = |(720° – α3 – α4 – α5) – 360°| = ∠Q3P4Q5. Следовательно, треугольники Q2P1Q6 и Q3P4Q5 равны по двум сторонам (Q2P1 = P1Q6 = Q3P4 = P4Q5) и углу между ними, откуда Q2Q6 = Q5Q3.
Второй способ. Как и выше, заметим, что четырёхугольники P3P4P5Q4 и P4P5P6Q5 – ромбы. Значит, четырёхугольник P3Q4P6Q5 – параллелограмм, и середины отрезков P3P6 и Q4Q5 совпадают. Аналогично совпадают середины отрезков P3P6 и Q1Q2. Следовательно, отрезки Q1Q2 и Q4Q5 имеют общую середину (совпадающую с серединой P3P6), четырёхугольник Q4Q2Q5Q1 – параллелограмм, и Q5Q1 = Q2Q4.
