ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111812
Темы:    [ Свойства симметрий и осей симметрии ]
[ Шестиугольники ]
[ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ]
[ Ромбы. Признаки и свойства ]
[ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
Сложность: 4-
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан выпуклый шестиугольник P1P2P3P4P5P6, все стороны которого равны. Каждую его вершину отразили симметрично относительно прямой, проходящей через две соседние вершины. Полученные точки обозначили через Q1, Q2, Q3, Q4, Q5 и Q6 соответственно. Докажите, что треугольники Q1Q3Q5 и Q2Q4Q6 равны.


Решение

  Достаточно доказать, что  Q2Q6 = Q5Q3Q2Q4 = Q5Q1  и  Q4Q6 = Q1Q3.  Докажем одно из этих равенств, остальные доказываются аналогично.

  Первый способ. Обозначим углы шестиугольника при вершинах P1, ..., P6 через α1, ..., α6; тогда  α1 + ... + α6 = 720°.  Рассмотрим четырёхугольник P2P3P4Q3. Все его стороны равны, поэтому он является ромбом. Аналогично ромбом является четырёхугольник P4P5P6Q5. Поэтому
P3P4Q3 = 180° – ∠P2P3P4 = 180° – α3  и  ∠P5P4Q5 = 180° – α5.  Значит,  ∠Q3P4Q5 = |∠P3P4P5 – ∠P3P4Q3 – ∠P5P4Q5| = |α3 + α4 + α5 – 360°|.  Аналогично ∠Q2P1Q6 = |α6 + α1 + α2 – 360°| = |(720° – α3 – α4 – α5) – 360°| = ∠Q3P4Q5.  Следовательно, треугольники Q2P1Q6 и Q3P4Q5 равны по двум сторонам  (Q2P1 = P1Q6 = Q3P4 = P4Q5)  и углу между ними, откуда  Q2Q6 = Q5Q3.

  Второй способ. Как и выше, заметим, что четырёхугольники P3P4P5Q4 и P4P5P6Q5 – ромбы. Значит,     четырёхугольник P3Q4P6Q5 – параллелограмм, и середины отрезков P3P6 и Q4Q5 совпадают. Аналогично совпадают середины отрезков P3P6 и Q1Q2. Следовательно, отрезки Q1Q2 и Q4Q5 имеют общую середину (совпадающую с серединой P3P6), четырёхугольник Q4Q2Q5Q1 – параллелограмм, и  Q5Q1 = Q2Q4.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2008
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 9
задача
Номер 08.4.9.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .