Дан многочлен степени $n \geqslant 1$ с целыми ненулевыми коэффициентами, каждый из которых является его корнем. Докажите, что модули коэффициентов этого многочлена не превосходят 2.

   Решение

Темы:    [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Обыкновенные дроби ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Квадратный трехчлен (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Даны положительные рациональные числа a, b. Один из корней трёхчлена  x² – ax + b  – рациональное число, в несократимой записи имеющее вид  ^m/_n.  Докажите, что знаменатель хотя бы одного из чисел a и b (в несократимой записи) не меньше n^2/3.

Решение

Пусть  a = ^k/_c,  b = ^l/_d.  Пусть некоторое простое p входит в разложение числа n на простые множители в степени α. По условию  ^m²/_n² – ^km/_cn + ^l/_d = 0,  при этом p входит в разложение знаменателя первой дроби в степени 2α. Если в разложения обоих остальных знаменателей число p входит в меньших степенях, то итоговая дробь не может оказаться целым числом. Значит, либо cn, либо d кратно p^2α, то есть либо c кратно p^α, либо d кратно p^2α. В любом случае, число c²d делится на p^2α. Поскольку аналогичный факт верен для каждого простого делителя n, то c²d делится на n². Отсюда  c²d ≥ n²,  следовательно одно из чисел c, d не меньше n^2/3.

Источники и прецеденты использования