ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Версия для печати
Убрать все задачи Петя и Вася играют в следующую игру. Петя загадывает натуральное число x с суммой цифр 2012. За один ход Вася выбирает любое натуральное число a и узнаёт у Пети сумму цифр числа |x – a|. Какое минимальное число ходов необходимо сделать Васе, чтобы гарантированно определить x? Фокусник с помощником собираются показать такой фокус. Зритель пишет на доске последовательность из N цифр. Помощник фокусника закрывает две соседних цифры чёрным кружком. Затем входит фокусник. Его задача – отгадать обе закрытые цифры (и порядок, в котором они расположены). При каком наименьшем N фокусник может договориться с помощником так, чтобы фокус гарантированно удался? |
Задача 111837
УсловиеФокусник с помощником собираются показать такой фокус. Зритель пишет на доске последовательность из N цифр. Помощник фокусника закрывает две соседних цифры чёрным кружком. Затем входит фокусник. Его задача – отгадать обе закрытые цифры (и порядок, в котором они расположены). При каком наименьшем N фокусник может договориться с помощником так, чтобы фокус гарантированно удался? Решение Предположим, что при каком-то значении N фокус удастся.
Тогда по каждому варианту последовательности с двумя закрытыми цифрами (пусть их количество равно k1) фокусник может восстановить исходную; значит, каждой последовательности с двумя закрытыми цифрами фокусник однозначно может поставить в соответствие восстановленную последовательность из N цифр (пусть их количество равно k2). Следовательно, k1 ≥ k2. Отметим, что k1 = (N – 1)10N–2 (есть N – 1 вариант вычеркнуть две цифры, а на остальные N – 2 позиции есть по 10 вариантов на каждую). А k2 = 10N . Значит, N – 1 ≥ 100, то есть N ≥ 101. ОтветПри N = 101. ЗамечанияПрименяя теорему о сватовстве (см. решение задачи 98160), можно доказать существование алгоритма действий фокусника и его помощника при Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке