Задача 111839

Темы:    [ Пересекающиеся окружности ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 5 Классы: 9,10

Условие

Автор: Берлов С.Л.

Две окружности σ₁ и σ₂ пересекаются в точках A и B . Пусть PQ и RS – отрезки общих внешних касательных к этим окружностям (точки P и R лежат на σ₁ , точки Q и S – на σ₂ ). Оказалось, что RB|| PQ . Луч RB вторично пересекает σ₂ в точке W . Найдите отношение RB/BW .

Решение

1/3 .

Пусть X – точка пересечения прямых AB и PQ . Тогда XP²=XA· XB=XQ² , т.е. X – середина PQ . Прямые AB и PR параллельны, так как обе эти прямые перпендикулярны линии центров окружностей σ₁ и σ₂ . Из условия теперь получаем, что четырехугольник PXBR – параллелограмм, откуда BR = XP= PQ = RS (последнее– из симметрии PQ и RS ). Далее, так как RS – отрезок касательной к σ₂ , то RB· RW = RS²=(2RB)² , откуда RW=4RB . Значит, RB/BW = 1/3 .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2007
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	10
задача
Номер	07.5.10.6