|
|
 |
Условие
Два игрока по очереди проводят диагонали в правильном (2n+1)-угольнике (n > 1). Разрешается проводить диагональ, если она пересекается (по внутренним точкам) с чётным числом ранее проведённых диагоналей (и не была проведена раньше). Проигрывает игрок, который не может сделать очередной ход. Кто выиграет при правильной игре?
Решение
Заметим, что по одну сторону от каждой диагонали находится чётное число вершин, а по другую – нечётное. Поэтому каждую диагональ пересекает чётное число других диагоналей (2n+1)-угольника. Пусть в некоторый момент игры невозможно сделать ход, тогда каждая непроведённая диагональ пересекает нечётное число уже проведённых, а следовательно, и нечётное число непроведённых диагоналей. Такая ситуация возможна только тогда, когда непроведённых диагоналей чётное число (см., например, зад. 30425).
Таким образом, если общее количество диагоналей в многоугольнике нечётно, то выиграет первый, а если чётно – второй. В (2n+1)-угольнике число диагоналей равно (2n + 1)(n – 1) (см. зад. 60391), то есть нечётно при чётном n и чётно при нечётном n.
Ответ
При нечётном n выиграет второй, при чётном – первый.
Замечания
Условие правильности многоугольника несущественно. Все рассуждения остаются справедливыми для любого выпуклого многоугольника.
