Задача 111845

Темы:    [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вспомогательная окружность ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Астахов В.

В треугольнике ABC проведена биссектриса BB₁. Перпендикуляр, опущенный из точки B₁ на BC, пересекает дугу BC описанной окружности треугольника ABC в точке K. Перпендикуляр опущенный из точки B на AK пересекает AC в точке L. Докажите что точки K, L и середина дуги AC (не содержащей точку B) лежат на одной прямой.

Решение

Пусть S и T – основания перпендикуляров, опущенных из B₁ и B соответственно на BC и AK (см. рис.).  ∠SBK = ∠LAT = α  как опирающиеся на одну дугу KC; поэтому  ∠B₁LB = ∠ALT = 90° – α = ∠BKS = ∠BKB₁,  то есть точки B, B₁, L, K лежат на одной окружности. Отсюда  ∠BB₁K = BLK = β,  и  ∠AKL = ∠TKL = 90° – β = ∠B₁BS = ½ ∠ABC = ½ ∠AKC,  Это и означает, что KL проходит через середину дуги AC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2007
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	10
задача
Номер	07.5.10.3
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2007
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	9
задача
Номер	07.5.9.4