Задача 111857

Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Подсчет двумя способами ] [ Аналитический метод в геометрии ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Бадзян А.И.

В квадрате 10×10 расставлены числа от 1 до 100: в первой строчке – от 1 до 10 слева направо, во второй – от 11 до 20 слева направо и т.д. Андрей собирается разрезать квадрат на доминошки 1×2, посчитать произведение чисел в каждой доминошке и сложить полученные 50 чисел. Он стремится получить как можно меньшую сумму. Как ему следует разрезать квадрат?

Решение

  Пронумеруем доминошки разбиения. Пусть в i-й доминошке лежат числа a_i и b_i. Заметим, что     Просуммировав эти равенства по всем доминошкам, получаем, что сумма всех 50 произведений равна   Первая дробь равна  ½ (1² + ... + 100²),  то есть не зависит от разбиения. В числителе же второй дроби каждый квадрат равен либо 1², либо 10² – в зависимости от того, горизонтальна или вертикальна i-я доминошка. Поэтому вторая дробь будет максимальна (а итоговая сумма – минимальна) тогда, когда все слагаемые в числителе будут равняться 100, то есть когда все доминошки вертикальны.

Ответ

На 50 вертикальных прямоугольников (см. рис.).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2007
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	9
задача
Номер	07.5.9.7
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2007
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	8
задача
Номер	07.5.8.8