Выбрано 3 задачи 
Убрать все задачи
Дана последовательность натуральных чисел a1, a2, ..., an, в которой a1 не делится на 5 и для всякого n an+1 = an + bn, где bn – последняя цифра числа an. Докажите, что последовательность содержит бесконечно много степеней двойки.
На основании AB равнобедренного треугольника ABC выбрана точка D так, что окружность, вписанная в треугольник BCD, имеет тот же радиус, что и окружность, касающаяся продолжений отрезков CA и CD и отрезка AD (вневписанная окружность треугольника ACD). Докажите, что этот радиус равен одной четверти высоты треугольника ABC, опущенной на его боковую сторону.
В неравнобедренном треугольнике ABC точки H и M – точки пересечения высот и медиан соответственно. Через вершины A, B и C проведены прямые, перпендикулярные прямым AM, BM, CM соответственно. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника, образованного проведёнными прямыми, лежит на прямой MH.
|
|
 |
Условие
В неравнобедренном треугольнике ABC точки H и M – точки пересечения высот и медиан соответственно. Через вершины A, B и C проведены прямые, перпендикулярные прямым AM, BM, CM соответственно. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника, образованного проведёнными прямыми, лежит на прямой MH.
Решение
Достроим треугольник BMC до параллелограммаBMCA1. Отрезок MA1 делит сторону BC пополам, поэтому A1 лежит на прямой AM, причём
AM = A1M. Кроме того, BA1 || MC ⊥ A'B' и CA1 || MB ⊥ A'C', поэтому BA1 и CA1 – высоты треугольника BA'C. Значит, A1 – ортоцентр этого треугольника и A'A1 ⊥ BC.
Стороны треугольника BA1M перпендикулярны сторонам треугольника A'B'C' соответственно, поэтому эти треугольники подобны, причём соответствующие прямые BC и AG, содержащие медианы этих треугольников, перпендикулярны. Значит, прямая A'G совпадает с прямой A'A1. Пусть G' – точка, симметричная точке H относительно M. Треугольники AHM и A1G'M симметричны относительно M, поэтому A1G' || AH ⊥ BC. Отсюда следует, что G' лежит на прямой A'G. Аналогично G' лежит на прямой B'G, то есть G' совпадает с G.
