Выбрано 5 задач 
Убрать все задачи
Дана последовательность натуральных чисел a1, a2, ..., an, в которой a1 не делится на 5 и для всякого n an+1 = an + bn, где bn – последняя цифра числа an. Докажите, что последовательность содержит бесконечно много степеней двойки.
На основании AB равнобедренного треугольника ABC выбрана точка D так, что окружность, вписанная в треугольник BCD, имеет тот же радиус, что и окружность, касающаяся продолжений отрезков CA и CD и отрезка AD (вневписанная окружность треугольника ACD). Докажите, что этот радиус равен одной четверти высоты треугольника ABC, опущенной на его боковую сторону.
В неравнобедренном треугольнике ABC точки H и M – точки пересечения высот и медиан соответственно. Через вершины A, B и C проведены прямые, перпендикулярные прямым AM, BM, CM соответственно. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника, образованного проведёнными прямыми, лежит на прямой MH.
Четырехугольник ABCD описан около окружности. Биссектрисы внешних углов A и B пересекаются в точке K , внешних углов B и C – в точке L , внешних углов C и D – в точке M , внешних углов D и A – в точке N . Пусть K1 , L1 , M1 , N1 – точки пересечения высот треугольников ABK , BCL , CDM , DAN соответственно. Докажите, что четырехугольник K1L1M1N1 – параллелограмм.
Расстоянием между двумя клетками бесконечной шахматной доски назовём минимальное число ходов в пути короля между этими клетками. На доске отмечены три клетки, попарные расстояния между которыми равны 100. Сколько существует клеток, расстояния от которых до всех трёх отмеченных равны 50?
|
|
 |
Условие
Расстоянием между двумя клетками бесконечной шахматной доски назовём минимальное число ходов в пути короля между этими клетками. На доске отмечены три клетки, попарные расстояния между которыми равны 100. Сколько существует клеток, расстояния от которых до всех трёх отмеченных равны 50?
Решение
Рассмотрим произвольные две клетки A и B. Пусть разность абсцисс их центров равна x ≥ 0, а разность ординат – y ≥ 0. Тогда расстояние ρ(A, B) между этими клетками равно max {x, y}.
Пусть отмечены клетки A, B, C. Тогда для каждой пары клеток существует координата, в которой они различаются ровно на 100. Для двух пар клеток это будет одна и та же координата; для определенности пусть это пары (A, B) и (A, C), различающиеся по горизонтали. Тогда абсциссы точек B и C либо различаются на 200, либо совпадают. Первый случай невозможен, так как ρ(B, C) = 100 . Значит, их абсциссы совпадают, а ординаты отличаются на 100. Можно считать, что клетки имеют координаты B(0, 0), C(0, 100), A(100, x) (0 ≤ x ≤ 100).
Рассмотрим точку X, отстоящую от точек A, B и C на 50. Её абсцисса должна быть равна 50, иначе ρ(X, B) > 50 или ρ(X, A) > 50. Аналогично ордината X равна 50. Значит, координаты X равны (50, 50) , причём эта клетка подходит. Таким образом, искомая клетка ровно одна.
Ответ
Одна клетка.
