B остроугольном треугольнике ровно один из углов равен 60°. Докажите, что прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку пересечения медиан треугольника, отсекает от него равносторонний треугольник.

   Решение

Темы:    [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Наибольшая или наименьшая длина ] [ Метод координат на плоскости ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Расстоянием между двумя клетками бесконечной шахматной доски назовём минимальное число ходов в пути короля между этими клетками. На доске отмечены три клетки, попарные расстояния между которыми равны 100. Сколько существует клеток, расстояния от которых до всех трёх отмеченных равны 50?

Решение

  Рассмотрим произвольные две клетки A и B. Пусть разность абсцисс их центров равна  x ≥ 0,  а разность ординат –  y ≥ 0.  Тогда расстояние  ρ(A, B)  между этими клетками равно  max {x, y}.
  Пусть отмечены клетки A, B, C. Тогда для каждой пары клеток существует координата, в которой они различаются ровно на 100. Для двух пар клеток это будет одна и та же координата; для определенности пусть это пары  (A, B)  и  (A, C),  различающиеся по горизонтали. Тогда абсциссы точек B и C либо различаются на 200, либо совпадают. Первый случай невозможен, так как  ρ(B, C) = 100 . Значит, их абсциссы совпадают, а ординаты отличаются на 100. Можно считать, что клетки имеют координаты  B(0, 0),  C(0, 100),  A(100, x)  (0 ≤ x ≤ 100).
  Рассмотрим точку X, отстоящую от точек A, B и C на 50. Её абсцисса должна быть равна 50, иначе  ρ(X, B) > 50  или  ρ(X, A) > 50.  Аналогично ордината X равна 50. Значит, координаты X равны  (50, 50) , причём эта клетка подходит. Таким образом, искомая клетка ровно одна.

Ответ

Одна клетка.

Источники и прецеденты использования