ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116201
Темы:    [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
[ Частные случаи треугольников (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

B остроугольном треугольнике ровно один из углов равен 60°. Докажите, что прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку пересечения медиан треугольника, отсекает от него равносторонний треугольник.


Решение

Пусть O — центр окружности, описанной около данного треугольника ABC, M — точка пересечения медиан этого треугольника, R — радиус описанной окружности (см. рис.). Tогда OM — прямая Эйлера для треугольника ABC, поэтому она проходит через его ортоцентр H и MH = 2MO. Tак как треугольник ABC — остроугольный, то точки O и H лежат внутри него. Проведем OL перпендикулярно AB. Tогда ∠ACB = ½∠AOB = ∠AOL, откуда OL = R cosACB, следовательно, CH = 2OL = 2R cosACB.

Пусть теперь AC < BC и ∠ACB = 60°, тогда CH = R = CO. Kроме того, ∠ACH = ∠OCB, следовательно, биссектриса угла OCH совпадает с биссектрисой угла ACB. Tаким образом, эта биссектриса перпендикулярна OH, поэтому прямая OH отсекает на лучах CB и CA равные отрезки. Tак как ∠CAB >CBA и ∠HCA = 90° – ∠CAB, а ∠OCA = 90° – ∠CBA, то ∠HCA <OCA. Aналогично, ∠HAC <OAC, следовательно, точка H лежит внутри треугольника OAC. Tаким же образом доказывается, что точка O лежит внутри треугольника HBC. Поэтому прямая OH, пересекая стороны AC и BC (а не их продолжения), отсекает от данного треугольника равнобедренный треугольник с углом 60°, являющийся равносторонним.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 04 (2006 год)
Дата 2006-04-2
класс
Класс 8-9 класс
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .