Задача 111882

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Средняя линия треугольника ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Вневписанные окружности ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Берлов С.Л.

Вписанная окружность касается сторон AB и AC треугольника ABC в точках X и Y соответственно. Точка K– середина дуги AB описанной окружности треугольника ABC (не содержащей точки C). Оказалось, что прямая XY делит отрезок AK пополам. Чему может быть равен угол BAC?

Решение

Пусть отрезки XY и AI пересекаются в точке S. Как известно,  KI = KA  (см. задачу 53119), то есть высота KT треугольника AKI является его медианой. Так как  XY ⊥ AI,  то  XY || KT,  а поскольку XY делит сторону AK пополам, то XY– средняя линия треугольника AKT. Значит,  AS : ST = 1 : 3;  при этом XS – высота прямоугольного треугольника AXI, откуда  ^AS/_ST = (^AX/_XI)²,    Значит,  ∠XAI = 60°  и  ∠BAC = 2∠XAI = 120°.

Ответ

120°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2008
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	9
задача
Номер	08.5.9.6