Задача 111919

Темы:    [ Разрезания на параллелограммы ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Мурашкин М.В.

Квадрат разрезали на конечное число прямоугольников. Обязательно ли найдётся отрезок, соединяющий центры (точки пересечения диагоналей) двух прямоугольников, не имеющий общих точек ни с какими другими прямоугольниками, кроме этих двух?

Решение

Длиной прямоугольника назовем длину большей стороны. Рассмотрим самый длинный прямоугольник P разбиения. Можно считать, что он расположен горизонтально и не примыкает к верхней стороне квадрата. Тогда центр прямоугольника P₁, содержащего середину верхней стороны P, расположен над P, следовательно отрезок, соединяющий центры P и P₁, не пересекает других прямоугольников.

Ответ

Обязательно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	72
Год	2009
Класс
Класс	10
задача
Номер	3