Задача 111923

Темы:    [ Производная и кратные корни ] [ Производная и экстремумы ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Автор: Сергеев И.Н.

Когда из бассейна сливают воду, уровень h воды в нём меняется в зависимости от времени t по закону

h(t)=at²+bt+c,
а в момент t₀ окончания слива выполнены равенства h(t₀)=h'(t₀)=0 . За сколько часов вода из бассейна сливается полностью, если за первый час уровень воды в нём уменьшается вдвое?

Решение

Так как h'(t₀)=0 и h(t₀)=0 , то a0 (в противном случае функция h была бы нулевой, и уровень воды в бассейне, вопреки условию задачи, не мог бы понизиться), а абсцисса и ордината вершины параболы y=h(t) равны соответственно t₀ и 0, поэтому

h(t)=a(t-t₀)², t t₀.
Обозначив через T искомое время полного слива бассейна, из условия задачи имеем

и, учитывая, что T>1 , окончательно получаем T=2+ .
Комментарий. Из законов физики известно, что функция y=h(t) удовлетворяет дифференциальному уравнению
y'=-k, k>0,
которое описывает высоту уровня жидкости в сосуде, имеющем отверстие в своём дне. Решением этого уравнения как раз и служит указанная в задаче квадратичная функция (до момента полного вытекания жидкости).

Ответ

2+ .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	72
Год	2009
класс
Класс	11
задача
Номер	1