Условие
На плоскости даны оси координат с одинаковым, но не
обозначенным масштабом и график функции
y= sin x, x
(0;α).
Как с помощью циркуля и линейки построить касательную к этому графику
в заданной его точке, если:
а)
α(
;π)
;
б)
α(0
;)
?
Решение
Касательная к графику функции y= sin x , где x(0; α) ,
проведённая в заданной его точке (x0, sin x0) , имеет угловой
коэффициент, т.е. тангенс угла наклона к оси Ox , равный cos x0 ,
и для её построения при помощи циркуля и линейки достаточно построить
отрезок длины 1 . Действительно, имея отрезки 1 и sin x0 , можно
построить отрезок cos x0 (при помощи тригонометрического круга),
а значит, и угол, тангенс которого равен cos x0 . Покажем, как
построить отрезок длины 1 (т.е. восстановить
масштаб).
а) Из точки A=(a, sin a) , где
a(
,α) , лежащей на графике функции,
опустим перпендикуляр на ось Oy (рис. 11-3-sol-1).
Так как sin(π-a)= sin a , то
этот перпендикуляр пересечёт график функции y= sin x в точке
B=(π-a, sin a) . Через середину отрезка AB проведём прямую,
перпендикулярную оси Ox . Она пересечёт график в точке
(,1) . Отрезок этой прямой от оси Ox до
графика функции y= sin x имеет длину 1.
б) Здесь несколько труднее построить
отрезок единичной длины. Остальные построения будут такими же.
Пусть a и b произвольные точки на оси Ox , удовлетворяющие
условию 0<b<a<α . Построим отрезок AB длины sin a+ sin
b . Через точку B проведём луч l , перпендикулярный отрезку
AB . Окружность с центром в точке A и радиусом 2 sin
пересекает луч l в точке C (рис. 11-3-sol-2). Так как sin
a+ sin b=2 sin cos
, то 
CAB= . На отрезке BC отметим точку D такую, что
BD= sin . Через точку D проведём прямую, параллельную
отрезку AB . Эта прямая пересечёт отрезок AC в точке E . Длина
отрезка AE равна 1, так как
sin CAB= sin=
.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Московская математическая олимпиада |
|
год |
|
Номер |
72 |
|
Год |
2009 |
|
класс |
|
Класс |
11 |
|
задача |
|
Номер |
3 |
