Условие
На плоскости даны оси координат с одинаковым, но не
обозначенным масштабом и график функции
y= sin x, x
(0;α).
Как с помощью циркуля и линейки построить касательную к этому графику
в заданной его точке, если:
а)
α(
;π)
;
б)
α(0
;)
?
Решение
Касательная к графику функции
y= sin x , где
x(0
; α)
,
проведённая в заданной его точке
(
x0, sin x0)
, имеет угловой
коэффициент, т.е. тангенс угла наклона к оси
Ox , равный
cos x0 ,
и для её построения при помощи циркуля и линейки достаточно построить
отрезок длины
1
. Действительно, имея отрезки
1
и
sin x0 , можно
построить отрезок
cos x0 (при помощи тригонометрического круга),
а значит, и угол, тангенс которого равен
cos x0 . Покажем, как
построить отрезок длины 1 (т.е. восстановить
масштаб).
а) Из точки
A=(
a, sin a)
, где
a(
,α)
, лежащей на графике функции,
опустим перпендикуляр на ось
Oy (рис. 11-3-sol-1).
Так как
sin(
π-a)
= sin a , то
этот перпендикуляр пересечёт график функции
y= sin x в точке
B=(
π-a, sin a)
. Через середину отрезка
AB проведём прямую,
перпендикулярную оси
Ox . Она пересечёт график в точке
(
,1
)
. Отрезок этой прямой от оси
Ox до
графика функции
y= sin x имеет длину 1.
б) Здесь несколько труднее построить
отрезок единичной длины. Остальные построения будут такими же.
Пусть
a и
b произвольные точки на оси
Ox , удовлетворяющие
условию
0
<b<a<α . Построим отрезок
AB длины
sin a+ sin
b . Через точку
B проведём луч
l , перпендикулярный отрезку
AB . Окружность с центром в точке
A и радиусом
2
sin
пересекает луч
l в точке
C (рис. 11-3-sol-2). Так как
sin
a+ sin b=2
sin cos
, то
CAB= . На отрезке
BC отметим точку
D такую, что
BD= sin . Через точку
D проведём прямую, параллельную
отрезку
AB . Эта прямая пересечёт отрезок
AC в точке
E . Длина
отрезка
AE равна 1, так как
sin CAB= sin=
.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Московская математическая олимпиада |
|
год |
|
Номер |
72 |
|
Год |
2009 |
|
класс |
|
Класс |
11 |
|
задача |
|
Номер |
3 |
