ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111925
Темы:    [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Производная и касательная ]
[ Построения с помощью вычислений ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости даны оси координат с одинаковым, но не обозначенным масштабом и график функции

y= sin x, x(0).

Как с помощью циркуля и линейки построить касательную к этому графику в заданной его точке, если: а) α() ; б) α(0;) ?

Решение

Касательная к графику функции y= sin x , где x(0; α) , проведённая в заданной его точке (x0, sin x0) , имеет угловой коэффициент, т.е. тангенс угла наклона к оси Ox , равный cos x0 , и для её построения при помощи циркуля и линейки достаточно построить отрезок длины 1 . Действительно, имея отрезки 1 и sin x0 , можно построить отрезок cos x0 (при помощи тригонометрического круга), а значит, и угол, тангенс которого равен cos x0 . Покажем, как построить отрезок длины 1 (т.е. восстановить масштаб).
а) Из точки A=(a, sin a) , где a() , лежащей на графике функции, опустим перпендикуляр на ось Oy (рис. 11-3-sol-1). Так как sin(π-a)= sin a , то этот перпендикуляр пересечёт график функции y= sin x в точке B=(π-a, sin a) . Через середину отрезка AB проведём прямую, перпендикулярную оси Ox . Она пересечёт график в точке (,1) . Отрезок этой прямой от оси Ox до графика функции y= sin x имеет длину 1.
б) Здесь несколько труднее построить отрезок единичной длины. Остальные построения будут такими же.
Пусть a и b произвольные точки на оси Ox , удовлетворяющие условию 0<b<a<α . Построим отрезок AB длины sin a+ sin b . Через точку B проведём луч l , перпендикулярный отрезку AB . Окружность с центром в точке A и радиусом 2 sin пересекает луч l в точке C (рис. 11-3-sol-2). Так как sin a+ sin b=2 sin cos , то CAB= . На отрезке BC отметим точку D такую, что BD= sin . Через точку D проведём прямую, параллельную отрезку AB . Эта прямая пересечёт отрезок AC в точке E . Длина отрезка AE равна 1, так как

sin CAB= sin=.






Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 72
Год 2009
класс
Класс 11
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .