Задача 115285

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Из точки A проведены касательные AB и AC к окружности и секущая, пересекающая окружность в точках D и E ; M — середина отрезка BC . Докажите, что BM2 = DM· ME и угол DME в два раза больше угла DBE или угла DCE ; кроме того, BEM = DEC .

Решение

Пусть O — центр данной окружности S . Из прямоугольного треугольника AOB находим, что AB2=AO· AM . С другой стороны, по теореме о касательной и секущей AB2=AD· AE . Из равенства AO· AM= AD· AE следует, что точки M , O , D и E лежат на одной окружности. Обозначим её S1 . Вписанные углы DME и DOE этой окружности опираются на одну и ту же дугу, поэтому DME = DOE . Если точки D и C лежат по разные стороны от прямой AO , то вписанный в окружность S угол DCE вдвое меньше центрального угла DOE . Следовательно,

DME = DOE = 2 DCE.
Если же точки D и C лежат по одну сторону от прямой AO , то аналогично DME = 2 DBE . Пусть луч MB пересекает окружность S1 в точке K . Т.к. KMO = 90^o , то OK — диаметр этой окружности. Линия центров OK окружностей S и S1 перпендикулярна их общей хорде DE , поэтому дуги KD и KE окружности S1 , не содержащие точки O , равны. Следовательно, равны и вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, т.е. DMK = EMK . Пусть продолжения отрезков DM и EM пересекают окружность S в точках E' и D' соответственно. Поскольку окружность S симметрична относительно прямой AO , а DE' и ED' образуют с этой прямой равные углы, точки D' и E' симметричны точкам соответственно D и E относительно прямой AO . Тогда MD=MD' и ME=ME' . По теореме об отрезках пересекающихся хорд
BM2 = BM· BM=BM· MC = DM· ME' = DM· ME.
Дуги BD' и CD , не содержащие точки E , симметричны относительно прямой AO , поэтому опирающиеся на них вписанные в окружность S углы BED' и DEC равны. Следовательно,
BEM = BED' = DEC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2961