Задача 115287

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Вспомогательная окружность ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Даны окружность S и прямая l, не имеющие общих точек. Из точки P, движущейся по прямой l, проводятся касательные PA и PB к окружности S.
Докажите, что все хорды AB имеют общую точку.

Решение

  Пусть M – основание перпендикуляра, опущенного из центра O окружности S на прямую l, X – точка пересечения этого перпендикуляра с хордой AB. Точки M, A и B лежат на окружности с диаметром OP. Поэтому  ∠AMO = ∠ABO = ∠BAO.
  Треугольники AMO и XAO подобны по двум углам, поэтому  OX : OA = OA : OM, откуда  OX = ^OA²/_OM,  то есть OX – постоянная величина. Следовательно, все хорды AB проходят через одну и ту же точку X.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2963