|
|
 |
Условие
Окружности S1 и S2 касаются внешним
образом в точке F . Их общая касательная l касается
S1 и S2 в точках A и B соответственно.
Прямая, параллельная AB , касается окружности S2
в точке C и пересекает S1 в точках D и E .
Докажите, что общая хорда окружностей, описанных
около треугольников ABC и BDE , проходит через
точку F .
Решение
Пусть O1 и O2 — центры окружностей O1 и
O2 соответственно.
Радиусы O2B и O2C окружности S2 перпендикулярны
параллельным прямым — касательным к окружности S2 , значит,
BC — диаметр окружности S2 . Поэтому
BFC = 90o .
Пусть общая касательная к окружностям S1 и S2
пересекает прямую AB в точке M . Тогда MB=MF=MA , т.е.
медиана FM треугольника AFB равна половине стороны
AB . Следовательно, треугольник AFB — прямоугольный,
AFB = 90o . Таким образом,
т.е. точки A , F и C лежат на одной прямой. Поскольку треугольник ABC прямоугольный, центр O его описанной окружности — середина гипотенузы AC . Докажем, что точка A — центр описанной окружности треугольника BDE . Касательная AB параллельна хорде DE окружности S1 , поэтому A — середина дуги DE этой окружности. Значит, AD = AE . Пусть R и r — радиусы окружностей S1 и S2 соответственно, T — проекция точки O2 на AO1 . Тогда
Пусть P — середина хорды DE . Из прямоугольных треугольников O1PE и APE находим, что
Следовательно, AB=AE=AD , т.е. A — центр описанной окружности треугольника ADE . Центры O и A описанных окружностей треугольников ABC и BDE лежат на прямой AC , B — одна из точек пересечения этих окружностей, при этом BF
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 2967 |
