ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115328
Темы:    [ Замечательное свойство трапеции ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть BL – биссектриса треугольника ABC. Внутри треугольника BLC нашлась такая точка P, что  ∠BPC = 90°  и  ∠LPC + ∠LBC = 180°.  Точка O – центр описанной окружности треугольника LPB. Докажите, что прямые CO, BL и AM, где M – середина стороны BC, пересекаются в одной точке.


Решение

  Обозначим  ∠ABL = ∠CBL = β,  ∠PBL = φ.  Тогда  ∠BPL = 360° – ∠BPC – ∠LPC = 360° – 90° – (180° – β) = 90° + β.
  Из треугольника BLP находим, что  ∠BLP = 180° – ∠PBLBPL = 180° – φ – (90° + β) = 90° – β – φ < 90°.  Поэтому точка O лежит по ту же сторону от прямой BP, что и точка L, и  ∠OBP = ½ (180° – ∠BOP) = 90° – ∠BLP = β + φ = ∠ABP,  следовательно, точка O лежит на луче BA. Треугольник BOL – равнобедренный, поэтому  ∠OLB = ∠OBL = ∠ABL = ∠CBL,  значит,  OL || BC.  Продолжения боковых сторон BO и CL трапеции BOLC пересекаются в точке A, а M – середина основания BC этой трапеции, поэтому прямая AM проходит через точку пересечения диагоналей CO и BL.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6332

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .