Задача 115370

Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Емельянов Л.А.

Пусть точки A , B , C лежат на окружности, а прямая b касается этой окружности в точке B . Из точки P , лежащей на прямой b , опущены перпендикуляры PA₁ и PC₁ на прямые AB и BC соответственно (точки A₁ и C₁ лежат на отрезках AB и BC ). Докажите, что A₁C₁ AC .

Решение

Поскольку PC₁B = PA₁B = 90^o , четырёхугольник PA₁C₁B вписан. Значит, CC₁A₁ = 180^o - A₁C₁B = A₁PB = 90^o - A₁BP . С другой стороны, A₁BP = ACB = AB . Поэтому CC₁A₁ = A₁PB = 90^o - ACC₁ , то есть прямые A₁C₁ и AC пересекаются под прямым углом.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2009-2010
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	9
задача
Номер	06.4.9.6