Задача 115390

Темы:    [ Свойства гомотетии и центра гомотетии ] [ Неравенства с объемами ] [ Площадь сферы и ее частей ] [ Объем шара, сегмента и проч. ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Автор: Гальперин Г.А.

На левую чашу весов положили две круглых монеты, а на правую — ещё одну, так что весы оказались в равновесии. А какая из чаш перевесит, если каждую из монет заменить шаром того же радиуса? (Все шары и монеты изготовлены целиком из одного и того же материала, все монеты имеют одинаковую толщину.)

Решение

Так как при растяжении в  R раз площади меняются в  R² , а объёмы в  R³ раз, площадь круга радиуса R равна V₂R² , а площадь шара V₃R³ , где V₂ и  V₃  — некоторые константы (площадь единичного круга и объём единичного шара, соответственно; на самом деле V₂=π , а  V₃=π , но для решения задачи это не важно).
Обозначим радиусы монет через R₁ , R₂ и  R₃ . Вначале весы были в равновесии, поэтому V₂R₁²+V₂R₂²=V₂R₃² , т. е.

R₁²+R₂²=R₃².
Аналогично, чтобы определить, что произошло с весами, после того как монеты заменили шарами, нужно сравнить R₁³+R₂³ с  R₃³ . Но по сравнению с равенством выше правая часть умножилась на больший радиус R₃ , а два слагаемых в левой части — на меньшие радиусы R₁ и  R₂ :
R₁³+R₂³= R₁²· R₁+R₂²· R₂< R₁²· R₃+R₂²· R₃= (R₁²+R₂²)· R₃= R₃³.
Значит, правая чаша перевесит.

Ответ

Перевесит правая чаша весов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год	2009
задача
Номер	6