|
|
 |
Условие
Можно ли раскрасить натуральные числа в 2009 цветов так, чтобы каждый цвет встречался бесконечное число раз, и не нашлось тройки чисел, покрашенных в три различных цвета, таких, что произведение двух из них равно третьему?
Решение
Приведём один из возможных вариантов такой раскраски. Пусть p1 < p2 < ... < p2008 – простые числа. Построим множества A1, A2, ..., A2009 по следующему правилу: в A1 включим все натуральные числа, кратные p1; в A2 – все натуральные числа,
делящиеся на p2, но кратные p1; в A3 – все натуральные числа, делящиеся на p3, но не кратные ни p1, ни p2; ...; в A2008 – все натуральные числа, кратные p2008, но не кратные ни одному из чисел p1, p2, ..., p2007. Наконец, в A2009 включим все остальные натуральные числа.
Тогда для любых чисел x ∈ Ak, y ∈ An, где k < n, их произведение принадлежит множеству Ak, поэтому при таком разбиении натуральных чисел на множества разноцветной тройки чисел, произведение двух из которых равно третьему числу, найти не удастся.
Ответ
Можно.
