Задача 115496

Темы:    [ Средняя линия треугольника ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Описанные четырехугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Заславский А.А.

В треугольнике ABC точка I  — центр вписанной окружности. Точки M и N  — середины сторон BC и AC соответственно. Известно, что угол AIN прямой. Докажите, что угол  BIM  — также прямой.

Решение

Так как средняя линия MN треугольника ABC параллельна стороне AB , BAN+ MNA=180^o , а значит, BAN+ MNA=90^o . С другой стороны, поскольку угол AIN прямой, BAN+ INA=90^o . Стало быть, INA= MNA , т.е. точка I лежит на биссектрисе угла MNA (рис.).
Таким образом, из условия AIN=90^o получаем, что центр I вписанной окружности треугольника ABC равноудалён от прямых AC , BC , AB и  MN (т.е. вписанная окружность треугольника ABC касается его средней линии MN ). Обращая переходы в предыдущем абзаце, получаем, что и BIM=90^o . А именно:
IBM+ BMI= ABM+ BMN=90^o,
поэтому
BIM=180^o-( IBM+ BMI)=90^o.

Комментарий. Выпуклый четырёхугольник ABMN является описанным тогда и только тогда, когда AN+BM=AB+MN . Замечая, что MN=AB , получаем, что условие задачи выполняется в точности для треугольников, стороны которых удовлетворяют соотношению 3AB=AC+BC .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	73
Год	2010
класс
Класс	8
задача
Номер	2010.8.5