Задача 115502

Темы:    [ Сочетания и размещения ] [ Доказательство от противного ] [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]

Сложность: 4+ Классы: 7,8,9,10

Условие

Автор: Толпыго А.К.

Дана незамкнутая несамопересекающаяся ломаная из 37 звеньев. Через каждое звено провели прямую.
Какое наименьшее число различных прямых могло получиться?

Решение

Допустим, прямых восемь. Тогда они имеют не более 28 точек пересечения, но ломаная не может иметь вершин не в точках пересечения прямых, кроме начальной и конечной, то есть не может иметь более 29 звеньев. Пример для девяти прямых изображён на рисунке.

(Изображена окружность, на которой отмечены вершины правильного девятиугольника. Каждая из них соединена с двумя другими прямой. По этим прямым и проходит искомая ломаная, на рисунке обозначенная белым цветом.)

Ответ

9 прямых.

Замечания

Ср. с задачей 116428.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	73
Год	2010
класс
Класс	9
задача
Номер	2010.9.5