ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116428
Темы:    [ Сочетания и размещения ]
[ Доказательство от противного ]
[ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости дана незамкнутая несамопересекающаяся ломаная, в которой 31 звено (соседние звенья не лежат на одной прямой). Через каждое звено провели прямую, содержащую это звено. Получили 31 прямую, некоторые, возможно, совпали. Какое наименьшее число различных прямых могло получиться?


Решение

  Оценка. Кроме концов, на ломаной 30 вершин, и каждая является пересечением двух прямых. Если прямых не более восьми, то точек пересечения не более  7·8 : 2 = 28  – противоречие.

  Пример – на рисунке.


Ответ

9 прямых.

Замечания

1. Ср. с задачей 115502.

2. 8 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2009/2010
Номер 31
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .