ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115506
Темы:    [ Обратные тригонометрические функции ]
[ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
[ Итерации ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Можно ли, применяя к числу 2 функции sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg, arcctg в любом количестве и в любом порядке, получить число 2010?


Решение

  Первый способ. При  sin t > 0  и  s ≠ 0  выполнены тождества      Подставляя в эти тождества  t = arcctg 2,      получаем:   
  Аналогично     и через  2010² – 2²  повторений этой операции мы из числа 2 получим число  

  Итак,     или, короче,  

  Второй способ.  


Ответ

Можно.

Замечания

1. Второй способ получается из первого, если поменять местами синус с косинусом, а тангенс с котангенсом.

2. Прошедшая в 1935 году московская олимпиада школьников по математике была первой не только в нашей стране. Она вызвала большое обсуждение педагогической и научной общественности в разных странах. На вторую олимпиаду предложил свою задачу известный английский физик-теоретик, лауреат Нобелевской премии по физике 1933 года Поль Дирак. Задача формулировалась так:
  Представить произвольное натуральное число в виде выражения, в запись которого входят только три двойки и произвольные математические знаки.
Решение просто и элегантно:

и так далее.
Автор настоящей задачи, будучи школьником, прочитал задачу Дирака в книге книге Г.А. Гальперина и А.К. Толпыго "Московские математические олимпиады" (см. также статью Н. Малова "Задача Дирака") и задумался: а можно ли обойтись двумя двойками? Через 17 лет удалось выяснить, что достаточно и одной. Как часто бывает в математике, достаточно лишь поверить, что одной двойки хватает, и задача решается.

3. Ср. с задачей 116418.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 73
Год 2010
класс
Класс 10
задача
Номер 2010.10.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .