ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116418
Темы:    [ Обратные тригонометрические функции ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Можно ли, применяя к числу 1 функции sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg, arcctg в некотором порядке, получить число 2010? (Каждую функцию можно использовать сколько угодно раз.)


Решение

Пусть   f(x) = ctg (arctg x) = 1/x,   g(x) = sin (arctg x) =  .   По индукции проверим, что  gn(x) = g(gn–1(x)) =  .
Взяв  n = 2010² – 1,  получим что   gn(1) = 1/2010,  откуда  f(gn(1)) = 2010.


Ответ

Можно.

Замечания

Ср. с задачей 115506.

6 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2009/2010
Номер 31
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .