ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115514
Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Две пары подобных треугольников ]
[ Средняя линия трапеции ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD взята такая точка P, что  ∠PBA = ∠PCD = 90°.  Точка M – середина стороны AD, причём  BM = CM.
Докажите, что  ∠PAB = ∠PDC.


Решение

  Проведём перпендикуляры AK, DL, MN и PQ – к прямой BC (см. рис.).  KN = NL,  а  BN = NC.  Следовательно,  KB = CL.  Заметим, что прямоугольные треугольники AKB и BQP подобны. Аналогично подобны прямоугольные треугольники CLD и PQC.
  Отсюда  BP : AB = QP : AB = QP : CL = CP : CD,  то есть прямоугольные треугольники ABP и DCP тоже подобны.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 73
Год 2010
класс
Класс 11
задача
Номер 2010.11.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .