Задача 115557

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Признаки и свойства касательной ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В окружности, радиус которой равен 5, проведена хорда AB=8 . Точка C лежит на хорде AB так, что AC:BC=1:2 . Найдите радиус окружности, касающейся данной окружности и касающейся хорды AB в точке C .

Решение

Пусть E — проекция центра O данной окружности на хорду AB . Тогда E — середина AB и

OE===3.

Если искомая окружность с центром Q и радиусом r касается данной в точке D , то
OQ = OD-QD = 5-r, CE=AE-AC=4-· 8=.

Пусть F — проекция точки O на прямую QC . Тогда OFCE — прямоугольник, поэтому CF=OE=3 и OF=CE= .
Рассмотрим случай, когда точки O и Q лежат по разные стороны от прямой AB (рис.1). Тогда QF = QC+CF=QC+OE = r+3 . По теореме Пифагора OQ2=QF2+OF2 , или (5-r)2=(r+3)2+ . Из этого уравнения находим, что r= .
Если же точки O и Q лежат по одну сторону от прямой AB (рис.2), то аналогично получим уравнение (5-r)2=(r-3)2 + , из которого найдём, что x= .

Ответ

или .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3331