Задача 115574

Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

На катетах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены окружности. Найдите их общую хорду, если катеты равны 3 и 4.

Решение

  Пусть CD – общая хорда окружностей, построенных на катетах  AC = 3  и  BC = 4  прямоугольного треугольника ABC как на диаметрах. Тогда
∠ADC = ∠BDC = 90°  как вписанные углы, опирающиеся на диаметр. Значит, точка D лежит на гипотенузе AB, а CD – высота прямоугольного треугольника ABC, проведённая из вершины прямого угла.
  По теореме Пифагора  AB = 5,  а так как  2 S_ABC = AC·BC = AB·CD, то  CD = 3·4 : 5.

Ответ

2,4.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3305