Задача 115584

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Общая касательная к двум окружностям ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Расстояние между центрами окружностей радиусов 1 и 9 равно 17. Этих окружностей и их общей внешней касательной касается третья окружность. Найдите её радиус.

Решение

Докажем сначала следующее утверждение. Если a — расстояние между центрами окружностей радиусов r и R , общая внешняя касательная касается этих окружностей соответственно в точках A и B и при этом a r+R , то AB =
Действительно, пусть O1 и O2 — центры окружностей радиусов r и R соответственно (рис.1). Из точки O1 опустим перпендикуляр O1F на прямую O2B . Из прямоугольного треугольника O1FO2 находим, что

O1F== .
Следовательно, AB=O1F= . Утверждение доказано.
В частности, если окружности касаются внешним образом, то a=R+r . В этом случае
AB==2.

Пусть x — радиус искомой окружности, C — её точка касания с прямой AB . По доказанному
AB==15,

AC==2, BC==2=6.

Если искомая окружность касается прямой AB в точке C , лежащей между A и B (рис.2), то AC+CB=AB , или 2+6=15 . Тогда = . Следовательно, x= .
Если искомая окружность касается прямой AB в точке C , лежащей на продолжении отрезка AB (рис.3), то CB-AC=AB , или 6-2=15 . Тогда = . Следовательно, x= .
Пусть искомая окружность радиуса x касается прямой AB , внутренним образом касается окружности с центром O1 в точке A , а внешним образом — окружности с центром O2 (рис.4). Тогда AB=2 , или 15=6 , откуда находим, что x= .
Наконец, если искомая окружность радиуса x касается прямой AB , внутренним образом касается окружности с центром O2 в точке B , а внешним образом — окружности с центром O1 (рис.5), то аналогично получим уравнение 15 = 2 , из которого находим, что x= .

Ответ

, , или .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3325