Задача 115585

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Общая касательная к двум окружностям ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Расстояние между центрами окружностей радиусов 1 и 9 равно 17. Этих окружностей и их общей внутренней касательной касается третья окружность. Найдите её радиус.

Решение

Докажем сначала следующее утверждение. Если a — расстояние между центрами окружностей радиусов r и R , a r+R , общая внешняя касательная касается окружностей в точках A и B , общая внутренняя — в точках C и D , то

AB = , CD = .

Действительно, пусть O1 и O2 — центры окружностей радиусов r и R соответственно (рис.1). Из точки O1 опустим перпендикуляры O1Q на прямую O2B и O1F на прямую O2B . Из прямоугольных треугольников O1QO2 и O1FO2 находим, что
O1Q== ,

O1F== .
Следовательно,
AB=O1Q=, CD=O1F=.

Пусть x — радиус искомой окружности, O — её центр. Заметим, что прямая CD — либо общая касательная окружностей с центрами O и O2 (рис.2), либо окружностей с центрами O и O1 (рис.3). В первом из этих случаев искомая окружность касается прямой CD в точке C , во втором — в точке D .
По доказанному
CD==.
В первом случае CD — общая внешняя касательная к окружностям с центрами O и O2 , поэтому
CD= = 2,
значит, 2= . Следовательно, x= .
Во втором случае CD — общая внешняя касательная к окружностям с центрами O и O1 , поэтому
CD= = 2,
значит, 2= . Следовательно, x= .

Ответ

или .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3326