Задача 115586

Темы:    [ Площадь трапеции ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Площадь трапеции ABCD равна 90. Диагонали пересекаются в точке O, отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N. Найдите площадь четырёхугольника OMPN, если одно из оснований трапеции вдвое больше другого.

Решение

  Пусть O – точка пересечения диагоналей трапеции ABCD с основаниями  BC  и  AD = 2BC  (см. рис.).
  Треугольники ACD и BAC имеют равные высоты. Поэтому  S_ACD : S_BAC = 2 : 1,  то есть  S_ACD = ⅔ S_ABCD = 60.  Треугольники BOC и DOA подобны с коэффициентом ½. Следовательно,  S_AOD = ⅔ S_ACD = 40.
  BCDP – параллелограмм, N – его центр, поэтому  S_DNP = ¼ S_ACD = 15.  Аналогично  S_AMP = 15.  Следовательно,  S_OMPN = S_AOD – S_AMP – S_DNP = 10.

  Рассмотрим случай, когда  BC = 2AD.  Аналогично получаем  S_ACD = ⅓ S_ABCD = 30.  S_ACP = ½ S_ACD = 15,  S_AOD = ⅓ S_ACD = 10,
S_DNP = S_AMP = ⅕ S_ACP = 3.  Следовательно,  S_OMPN = S_AOD – S_AMP – S_DNP = 4.

Ответ

10 или 4.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3327