Задача 115597

Темы:    [ Поворот на $90^\circ$ ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На сторонах треугольника ABC как на гипотенузах строятся во внешнюю сторону равнобедренные прямоугольные треугольники ABD , BCE и ACF . Докажите, что отрезки DE и BF равны и перпендикулярны.

Решение

Рассмотрим квадраты BCYX и ACUV с центрами E и F соответственно. При повороте вокруг точки C на 90^o точка A переходит в точку U , точка Y — в точку B , отрезок AY — в отрезок UB , значит, AY=UB и AY UB .
Пусть M — середина AB . Тогда ME и MF — средние линии треугольников ABY и ABY , поэтому ME=AY=UB=MF , ME || AY и MF || BU , значит, отрезки ME и MF равны и перпендикулярны.
При повороте вокруг точки M на 90^o вершина B переходит в точку D , точка F — в точку E , отрезок BF — в отрезок DE . Следовательно, эти отрезки равны и перпендикулярны.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3347