Задача 115601

Темы:    [ Поворот на $90^\circ$ ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Вспомогательная окружность ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

$CD$ —биссектриса прямого угла треугольника $ABC$. $DE$ и $DK$ — биссектрисы треугольников $ADC$ и $BDC$. Докажите, что $AD^2+BD^2=(AE+BK)^2$.

Решение

Угол $EDK$ — прямой как угол между биссектрисами смежных углов. Из точек $C$ и $D$ отрезок $EK$ виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром $EK$. Равные вписанные в эту окружность углы $DCE$ и $DCK$ опираются на равные хорды, т.е. $DE=DK$.
Рассмотрим поворот на $90^\circ$ вокруг точки $D$, при котором точка $K$ переходит в точку $E$. Поскольку $AC \perp BC$, вершина $B$ переходит в точку $B'$, лежащую на луче $AC$, отрезок $DB$ — в равный и перпендикулярный ему отрезок $DB'$, а отрезок $BK$ — в отрезок $B'E$.
Применяя теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $ADB'$, получим, что $$AD^2+BD^2=AD^2+BD'^2=AB'^2=(AE+BE')^2=(AE+BK)^2.$$ Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3351