Задача 115603

Темы:    [ Неравенства с площадями ] [ Параллелограммы ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На сторонах AB и CD параллелограмма ABCD найдите такие точки K и M , чтобы площадь четырёхугольника, полученного при пересечении треугольников AMB и CKD , была наибольшей.

Решение

Воспользуемся следующим известным фактом. Если в трапеции (или параллелограмме) провести диагонали, то треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики.
Пусть отрезки KD и AM пересекаются в точке X , а отрезки KC и BM — в точке Y . Положим

k===.
Тогда
S_{Δ AXD}=S_{Δ KXM}, S_{Δ AKX}=kS_{Δ KXM}, S_{Δ DXM}=S_{Δ KXM}.
Поэтому
S_AKMD=(2+k+)S_{Δ KXM} 4S_{Δ KXM},
причём равенство достигается только в случае k=1 , т.е. при KM || AD . Аналогично, S_KBCM 4S_{Δ KYM} с равенством в случае KM || BC . Складывая эти два неравенства, получаем, что S_ABCD 4S_KXMY , или S_KXMY S_ABCD . Следовательно, наибольшая возможная площадь четырёхугольника KXMY равна S_ABCD и достигается при KM || AD .

Ответ

Точки K и M можно взять произвольно так, чтобы отрезок KM был параллелен AD .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3353