Задача 115605

Темы:    [ Неравенства для углов треугольника ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На окружности с центром O лежит точка X . На диаметре, выходящем из точки X , возьмём точку Y так, чтобы точка O лежала между X и Y . Требуется провести через точку Y хорду AB так, чтобы угол AXB был минимален.

Решение

Проведём через точку Y хорду A0B0 , перпендикулярную OX , и докажем, что для любой другой хорды AB , проходящей через точку Y , верно неравенство A0XB0 < AXB .
Будем считать, что точка A лежит на меньшей дуге A0B0 . Тогда

AXB- A0XB0= ( AXB0+ BXB0)- ( AXA0- AXB0)=

= BXB0- AXA0= BAB0- AB0A0.
Достаточно доказать, что BAB0> AB0A0 , или YB0>AY (против большей стороны в треугольнике лежит больший угол).
В треугольнике OYA угол OYA — тупой, поэтому OA2>OY2+AY2 , или
AY2<OA2-OY2=OB02-OY2=YB02.
Следовательно, YB0>AY . Что и требовалось доказать.

Ответ

AB XY .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3355