Условие
Дан треугольник ABC и окружность, описанная вокруг
него. K — точка пересечения биссектрис внутреннего
угла B и внешнего угла C , L — точка пересечения
биссектрис внутреннего угла C и внешнего угла B ;
M — середина отрезка KL . Докажите, что M —
середина дуги BAC .
Решение
Биссектрисы двух внешних и третьего внутреннего углов
треугольника пересекаются в одной точке (центре
вневписанной окружности треугольника). Поэтому
AK и AL — биссектрисы вертикальных углов — внешних
углов при вершине A треугольника ABC . Значит, прямая
KL проходит через вершину A .
Пусть M' — отличная от A точка пересечения окружности
с прямой KL , а N — середина дуги BC , не содержащей
точкy M' . Тогда AN — биссектриса угла BAC , а т.к.
M'AN=90o (как угол между биссектрисами
смежных углов), то M'N — диаметр окружности, поэтому
M' — середина дуги BAC , а M'N — серединный перпендикуяр
к хорде BC .
Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикуярны, поэтому
из точек B и C отрезок KL виден под прямым углом.
Значит, эти точки лежат на окружности с диаметром KL .
Серединный перпендикуляр к хорде BC этой окружности
пересекает её диаметр KL в точке M' , поэтому M' —
центр окружности, т.е. середина KL . Следовательно,
точки M' и M совпадают. Что и требовалось доказать.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
3357 |
