Задача 115607

Темы:    [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Дан треугольник ABC и окружность, описанная вокруг него. K — точка пересечения биссектрис внутреннего угла B и внешнего угла C , L — точка пересечения биссектрис внутреннего угла C и внешнего угла B ; M — середина отрезка KL . Докажите, что M — середина дуги BAC .

Решение

Биссектрисы двух внешних и третьего внутреннего углов треугольника пересекаются в одной точке (центре вневписанной окружности треугольника). Поэтому AK и AL — биссектрисы вертикальных углов — внешних углов при вершине A треугольника ABC . Значит, прямая KL проходит через вершину A .
Пусть M' — отличная от A точка пересечения окружности с прямой KL , а N — середина дуги BC , не содержащей точкy M' . Тогда AN — биссектриса угла BAC , а т.к. M'AN=90^o (как угол между биссектрисами смежных углов), то M'N — диаметр окружности, поэтому M' — середина дуги BAC , а M'N — серединный перпендикуяр к хорде BC .
Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикуярны, поэтому из точек B и C отрезок KL виден под прямым углом. Значит, эти точки лежат на окружности с диаметром KL . Серединный перпендикуляр к хорде BC этой окружности пересекает её диаметр KL в точке M' , поэтому M' — центр окружности, т.е. середина KL . Следовательно, точки M' и M совпадают. Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3357