Задача 115616

Темы:    [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC угол C в два раза больше угла A и AC=2BC . Докажите, что этот треугольник прямоугольный.

Решение

Пусть BAC = α . Тогда

ACB = 2α, ABC = 180^o-3α,
а т.к. AC>BC , то 180^o-3α> α , откуда ACB = 2α < 90^o . Значит, серединный перпендикуляр к стороне AC пересекает луч CB в некоторой точке K , AK=KC , CAK = ACK = 2α , а т.к. CAB = α , то AB — биссектриса угла ACK .
По свойству биссектрисы треугольника = = , откуда BK=AK= CK , т.е. AB — медиана и биссектриса треугольника CAK , значит, треугольник CAK — равнобедренный. Следовательно, AB — его высота, т.е. ABC=90^o .


Пусть BAC = α , BC=a , AC=2a . Тогда
ACB = 2α, ABC = 180^o-3α,
По теореме синусов = , или
=, =, sin α = ,
а т.к. α <90^o как не наибольший угол треугольника, то α = 30^o . Следовательно,
ABC = 180^o-3α = 180^o-90^o= 90^o.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3366