Задача 115620

Темы:    [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Известно, что для некоторой внутренней точки K медианы BM треугольника ABC углы BAK и BCK равны. Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

Решение

Достаточно доказать, что BK AC . Предположим, что это не так. Пусть BMC < 90^o , а T — точка симметричная вершине C относительно прямой BM . Тогда треугольник AMT равнобедренный, а MB — биссектриса его внешнего угла при вершине, поэтому AT || BK и BTK = BCK= BAK .
Из точек A и T , лежащих по одну сторону от прямой BK , основание BK трапеции ATBK видно под одним и тем же углом, значит, эта трапеция — вписанная, а значит, — равнобедренная. Серединный перпендикуляр к её основанию AT проходит через середину основания BK , что невозможно, т.к. серединный перпендикуляр к основанию AT равнобедренного треугольника AMT проходит через точку M , отличную от K .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3370