Задача 115626

Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Точка пересечения медиан треугольника ABC , вершина A и середины сторон AB и AC лежат на одной окружности. Найдите медиану, проведённую из вершины A , если BC=a .

Решение

Пусть K , P и Q — середины сторон BC , AC и AB соответственно, M — точка пересечения медиан треугольника ABC . Обозначим MK=x . Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, поэтому AM=2x . Отрезок PQ — средняя линия треугольника ABC , поэтому PQ || BC , значит,

BPQ = CBP= KBM.
Точки A , P , M и Q лежат на окружности, поэтому
KAB= MAQ = MPQ = BPQ= KBM.
Треугольники KAB и KBM подобны по двум углам (угол при вершине K — общий), значит, = , или = , откуда находим, что x= . Следовательно,
AK=3x = 3· = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3376