Задача 115627

Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Средняя линия треугольника ] [ Пересекающиеся окружности ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведены диаметры AC и AD этих окружностей.
Найдите расстояние между центрами окружностей, если  BC = a  и  BD = b.

Решение

  Пусть O₁ – центр окружности с диаметром AC, O₂ – центр окружности с диаметром AD. Точка B лежит на окружности с диаметром AC, поэтому
∠ABC = 90°.  Аналогично  ∠ABD = 90°.
  Рассмотрим случай, когда точки O₁ и O₂ лежат по разные стороны от прямой AB (рис. слева). Тогда  ∠CBD = 180°,  значит, точки C, B и D лежат на одной прямой, причём точка B лежит между C и D. Поэтому  CD = BC + BD = a + b,  а так как O₁O₂ – средняя линия треугольника ACD, то
O₁O₂ = ½ (a + b).

  Пусть теперь точки C и D лежат по одну сторону от прямой AB и  a > b  (рис. справа). Тогда точки B, C и D лежат на одной прямой, причём точка C лежит между B и D. Следовательно,  O₁O₂ = ½ CD = ½ (a – b).
  Аналогично для случая  a < b.

Ответ

½ (a + b)  или  ½ |a – b|.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3377