Задача 115629

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Окружность, вписанная в угол ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В угол вписаны касающиеся внешним образом окружности радиусов r и R  (r < R).  Первая из них касается сторон угла в точках A и B. Найдите AB.

Решение

  Пусть меньшая окружность с центром O₁ касается сторон угла с вершиной O в точках A и B, большая окружность с центром O₂ касается луча OA в точке C, а меньшей окружности – в точке K.

  Опустим перпендикуляр O₁F из центра меньшей окружности на радиус O₂C большей окружности. По теореме Пифагора  O₁F² = (R + r)² – (R – r)² = 4rR.
  Пусть луч OO₁ (биссектриса угла AOB) пересекает отрезок AB в точке D. Прямоугольные треугольники AO₁D и O₁O₂F подобны, значит,
AD : O₁F = AO₁ : O₁O₂,  или   = ,  откуда  AB = 2AD = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3379