ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115636
Тема:    [ Касающиеся окружности ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Окружность S с центром в вершине прямого угла прямоугольного треугольника касается окружности, вписанной в этот треугольник. Найдите радиус окружности S , если известно, что катеты треугольника равны 5 и 12.

Решение

Пусть окружность S с центром в вершине C прямого угла прямоугольного треугольника ABC с катетами AC=12 , BC=5 и гипотенузой AB=13 в точке K касается внешним образом вписанной окружности этого треугольника (рис.1).
Пусть O — центр вписанной окружности данного треугольника, M — точка касания вписанной окружности треугольника с катетом BC . Тогда

OM=(AC+BC-AB) = (12+5-13)=2.

Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому OC= CK+OK , OCM =45o , т.к. CO —биссектриса угла ACB . Из прямоугольного тругольника OCM находим, что OC=OM=2 , а т.к. OK=OM , то 2=2+CK . Следовательно, CK=2-2 , т.е. радиус окружности S равен 2-2 .
Если окружность S касается вписанной окружности данного треугольника внутренним образом (рис.2), то аналогично найдём, что радиус окружности S равен 2+2 .

Ответ

2( 1) .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3386

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .