Задача 115636

Тема:    [ Касающиеся окружности ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Окружность S с центром в вершине прямого угла прямоугольного треугольника касается окружности, вписанной в этот треугольник. Найдите радиус окружности S , если известно, что катеты треугольника равны 5 и 12.

Решение

Пусть окружность S с центром в вершине C прямого угла прямоугольного треугольника ABC с катетами AC=12 , BC=5 и гипотенузой AB=13 в точке K касается внешним образом вписанной окружности этого треугольника (рис.1).
Пусть O — центр вписанной окружности данного треугольника, M — точка касания вписанной окружности треугольника с катетом BC . Тогда

OM=(AC+BC-AB) = (12+5-13)=2.
Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому OC= CK+OK , OCM =45^o , т.к. CO —биссектриса угла ACB . Из прямоугольного тругольника OCM находим, что OC=OM=2 , а т.к. OK=OM , то 2=2+CK . Следовательно, CK=2-2 , т.е. радиус окружности S равен 2-2 .
Если окружность S касается вписанной окружности данного треугольника внутренним образом (рис.2), то аналогично найдём, что радиус окружности S равен 2+2 .

Ответ

2( 1) .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3386