Задача 115647

Темы:    [ Длины сторон (неравенства) ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Каждый катет прямоугольного треугольника увеличили на единицу. Может ли его гипотенуза увеличиться более, чем на ?

Решение

Пусть x и y — катеты треугольника до увеличения. Тогда его гипотенуза равна , а после увеличения катетов стала равна .
Предположим, что гипотенуза увеличилась более, чем на . Тогда

> + (x+1)2+(y+1)2>x2+y2+2+2

2x+2y > 2 2xy>x2+y2 0>(x-y)2,
что невозможно. Следовательно, гипотенуза не может увеличиться более, чем на .

Ответ

Нет.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6615